工業高校電気科で使われる『電気機器』の公式集

工業高校の電気科で使われる『電気機器』に関連する公式まとめ

工業高校の電気科で学ぶ工学は大学レベルのものです。なぜこの公式が導出されるのかを考える前に、公式を覚えて紐解いていきましょう。

直流機に関する公式

直流発電機の誘導機電力の大きさ

$$
E=K_1\Phi n=\frac{pZ}{60a}\Phi n [V]\\
\Phi:1極あたりの磁束数\ [Wb] n:回転速度\ [min^{-1}](重ね巻き:a=p 波巻:a=2)\\
p:極数 Z:電機子巻線の導体数 a=並列回路数
$$

直流発電機の端子電圧

$$
V=E-R_aI_a\\
E:発生電圧\ [V] R_a:電機子抵抗\ [\Omega] I_a:電機子電流\ [A] $$

直流電動機のトルク

$$
T=K_2\Phi I_a=\frac{pZ}{2\pi a}\Phi I_a [N・m]\\
K_2=\frac{pZ}{2\pi a}:トルク定数 \Phi:界磁磁束\ [Wb] p:磁極 Z:電機子巻線の導体数
$$

直流電動機の回転速度

$$
n=\frac{V-R_a I_a}{K_1\Phi} [min^{-1}]\\
K_1=\frac{pZ}{60a}:電圧定数 a:並列回路数 R_a:電機子抵抗\ [\Omega] I_a:電機子電流\ [A] V:端子電圧\ [V] $$

直流電動機の出力

$$
P_0=\omega T=2\pi\frac{n}{60}T [W]\\
T:トルク\ [N・m] n:回転速度\ [min^{-1}] \omega:角速度\ [rad/s] $$

変圧器に関する公式

巻数比

$$
a=\frac{N_1}{N_2}=\frac{E_1}{E_2}=\frac{I_2}{I_1}\\
N_1:一次コイルの巻数  N_2:二次コイルの巻数\\
E_1:一次コイルの起電力\ [V]  E_2:二次コイルの起電力\ [V]\\
I_1:一次コイルの電流\ [A]  N_2:二次コイルの電流\ [A] $$

変圧器の等価回路

一次側に換算した等価回路

$$
I_1’=\frac{I_2}{a} V_2’=aV_2 Z_L’=a^2Z_L\\
r_{12}=r_1+a^2 r_2 x_{12}=x_1+a^2x_2
$$

二次側に換算した等価回路

$$
I_2’=aI_1 V_1’=\frac{V_1}{a} Y_0’=a^2Y_0\\
r_{21}=r_2+\frac{r_1}{a^2} x_{21}=x_2+\frac{x_1}{a^2}
$$

電圧変動率

$$
\varepsilon =p\ cos\theta + q\ sin \theta [\%] \\
p=\frac{r_{21}I_2}{V_2} q=\frac{x_{21}I_2}{V_2}\\
p:百分率抵抗降下[\%] q:百分率リアクタンス降下[\%]\\
\theta:電圧と電流の位相差[rad\ または\ ^\circ] $$

効率

$$
\eta={\frac{出力}{出力+無負荷損+負荷損}}\times{100} [\%] \simeq{\frac{出力}{出力+鉄損+銅損}}\times{100} [\%] $$

変圧器の三層結線における電圧・電流の関係

Δ結線の場合は線間電圧と相電圧は等しい。また、相電流は線電流の\(\ \frac{I}{\sqrt{3}\ \)倍である。

Y結線の場合は線電流と相電流は等しい。また、相電圧は線間電圧の\(\ \frac{I}{\sqrt{3}\ \)倍である。

V結線の場合は線間電圧と相電圧は等しく、相電流も等しい。

変圧器のV-V結線の出力比と利用率

出力比

$$
\frac{V結線の出力}{Δ結線の出力}=\frac{\sqrt{3}V_2I_2}{3V_2I_2}=0.577
$$

利用率

$$
\frac{V結線の出力}{変圧器2台の出力}=\frac{\sqrt{3}V_2I_2}{2V_2I_2}=0.866
$$

誘導機に関する公式

同期速度

$$
n_s=\frac{120 f}{p} [min^{-1}]\\
f:周波数\ [Hz] p:コイルの極数
$$

すべり

$$
s={\frac{n_s – n}{n_s}}\times{100} [\%]\\
n_s:同期速度\ [min^{-1}] n:回転速度\ [min^{-1}]\\
s=0\Rightarrow n=n_s\Rightarrow 同期速度で回転\\
s=100% (1.0)\Rightarrow n=0\Rightarrow 停止
$$

二次入力と出力の関係

$$
P_0=P_2-P_{c2}=P_2(1-s) [W]\\
P_2:二次入力 P_{c2}:二次銅損\\
P_0:出力 s:すべり
$$

二次銅損

$$
P_{c2}=sP_2 [W]\\
P_2:二次入力\ [W] s:すべり
$$

効率

$$
\eta=\frac{P_0}{P_1}=\frac{P_2}{P_1}(1-s)\\
P_1:一次入力\ [W] P_2:二次入力\ [W]\\
P_0:出力\ [W] s:すべり
$$

トルクと同期ワット

トルク

$$
T=\frac{60P_0}{2\pi n} [N•m] $$

同期ワット

$$
P_2=2\pi\frac{n_s}{60}T [W]\\
n:回転速度\ [min^{-1}] n_s:同期速度\ [min^{-1}] $$

比例推移

二次抵抗\(\ r_2\ \)を\(\ m\ \)倍にすると、同じ大きさのトルク\(\ T\ \)を発生するときの滑り\(\ s\ \)も\(\ m\ \)倍になる。

始動方法

・全電圧始動:3.7kW以下の小容量の電動機。始動電流は定格電流の5〜7倍程度。

・YーΔ始動:始動時の電圧は定格の\(\ \frac{1}{\sqrt{3}}\ \)、始動電流とトルクは全電圧始動の\(\ \frac{1}{3}\ \)。

・始動補償器:15kW以上の電動機。始動補償器に単巻変圧器を使用。始動時の電圧は定格の40〜80%

・始動抵抗器:巻線形モータの電動機に使用。比例推移を利用している。

速度制御

・電源の周波数による制御

・二次抵抗による制御

・極数変換による制御

・二次励磁による制御

同期機に関する公式

同期発電機の誘導起電力

$$
E=4.44Kf\Phi w [V]\\
K:巻線係数 f:電源の周波数\ [Hz]\\
w:1相あたりの巻線 \Phi:1極あたりの磁束\ [Wb] $$

同期発電機の特徴

同期インピーダンス

$$
Z_s=\frac{V_n}{\sqrt{3}I_s}=\sqrt{r_a^2+x_s^2}\\
V_n:定格電圧\ [V] I_s:短絡電流\ [A]\\
r_a:電機子抵抗\ [\Omega] x_s:同期リアクタンス\ [\Omega] $$

短絡比

$$
S=\frac{I_s}{I_n}=\frac{I_fs}{I_fn}=\frac{100}{\%Z_s}
I_s:短絡電流\ [A] I_n:定格電流\ [A]\\
I_fs:定格電流を流しているときの界磁電流\ [A] I_fn:短絡電流を流しているときの界磁電流\ [A]\\
\%Z_s:百分率同期インピーダンス\ [\%] $$

定格出力

$$
P=\sqrt{3}V_n I_n [VA]\\
V_n:定格電圧\ [V] I_n:定格電流\ [A] $$

同期発電機の電機子反作用

負荷の力率が100% → 交差磁化作用 → 界磁磁束のひずみが生じる

負荷の力率が\(\ \frac{\pi}{2}\ \)遅れ → 減磁作用

負荷の力率が\(\ \frac{\pi}{2}\ \)進み → 磁化作用

同期発電機の並行運転の条件

1. 起電力の大きさが等しい

2. 起電力の位相が等しい

3. 起電力の周波数が等しい

同期電動機の出力とトルク

出力

$$
P_0=\frac{3EV}{X_s}\ sin\ \delta [W]\\
E:電機子誘導起電力\ [V] V:電機子1相の電圧\ [V]\\
X_s:同期リアクタンス\ [\Omega] \delta:負荷角[^\circ]または[rad] $$

トルク

$$
T={\frac{60}{2\pi n_s}}\times{\frac{EV}{X_s}}\ sin\ \delta [N•m]\\
E:電機子誘導起電力\ [V] V:電機子1相の電圧\ [V]\\
X_s:同期リアクタンス\ [\Omega] \delta:負荷角[^\circ]または[rad]\\
n_s:同期速度\ [min^{-1}] $$

位相特性

・\(\ I_f\ \)が小さいとき:\(\ I\ \)は遅れ力率

・\(\ I_f\ \)が大きいとき:\(\ I\ \)は進み力率

・\(\ I_f\ \)がある値のとき:\(\ I\ \)は力率100%

自動制御に関する公式

制御方式の分類

シーケンス制御

あらかじめ定められた順序または、手続きに従って、制御の各段階を逐次進める制御

フィードバック制御

制御対象の現在の状況を目標値と比較して一致するように訂正を行う制御

シーケンス制御のリレー基本理論回路

パワーエレクトロニクスに関する公式

サイリスタの構造

接合部は、n形シリコン単結晶にカリウムなどを拡散させてpnpの三層接合を作り、合金法でpの一部をnに変換してpnpn接合とする。この上下に陽極、陰極両端子を取り付け、内側のp層にゲートリード線を取り付ける。

サイリスタの動作原理

A-K間の主電極間に順電圧(A極に正、K極に負)を加え、ゲート(G)に正のパルス電流を加えると、主電極間は導通状態になる。この状態はゲート電流を0にしても継続し、主電極間に逆電圧が加わると導通状態は停止する。
サイリスタはゲートに電流を流すことによって、オフ状態からオン状態に変化することをターンオンという。一度、オン状態になると、ゲート電流を取り去ってもそのまま持続する。オン状態からオフ状態になることをターンオフという。

整流回路

\(\ E[V]\ \)のp相交流電圧を半波整流した場合の直流出力電圧\(\ E_d[V]\ \)は次式のようになる。

$$
E_d=\frac{\sqrt{2}E\ sin(\frac{\pi}{p})}{\frac{\pi}{p}} [V] $$

p相全波整流では、pの値を2倍、単相半波整流回路では\(\ E_d[V]\ \)は次式のようになる。

$$
E_d=\frac{\sqrt{2}E}{\pi} [V] $$

制御角aで位相制御したときの直流出力電圧\(\ E_{da}[V]\ \)は次式のようになる。

$$
E_{da}=E_d\ cos\ \alpha [V] $$

単相整流の直流出力電圧\(\ E_{da}[V]\ \)は次式のようになる。

$$
E_{da}=\frac{E_d\ (1+cos\ \alpha )}{2} [V] $$