工業高校の電気科で学ぶ工学は大学レベルのものです。なぜこの公式が導出されるのかを考える前に、公式を覚えて紐解いていきましょう。
正弦波交流に関する公式
周波数と周期
周期\(\ T[s]\ \)
交流波形が規則的な変化を1回行うことにかかる時間のこと。
周波数\(\ f[Hz]\ \)
１秒間に1周期の波形が繰り返す回数のこと。
周波数と周期の関係
周期\(\ T[s]\ \)と周波数\(\ f[Hz]\ \)の関係は次のような式で表される。
$$
f=\frac{1}{T} [Hz]
$$
弧度法と角周波数
弧度法\(\ [rad]\ \)
弧度法とは、扇形の半径と円周の比で角度を表すものである。単位には\(\ [rad]\ \)（ラジアン）を用いる。
度数法\(\ [^\circ]\ \)と弧度法\(\ [rad]\ \)の関係式は次のように表される。
$$
\theta[rad]={\frac{2\pi}{360}}\times{\theta[^\circ]} (360^\circ=2\pi[rad])
$$
角速度（角周波数） \(\ \omega\ \)
角度\(\ \theta\ \)が時間によって比例するとき、その変化の割合を\(\ omega\ \)とおき、\(\ \theta=\omega t\ \)と表すことができる。ここで\(\ \omega\ \)を角速度といい単位は\(\ [rad/s]\ \)で表す。また周波数との関係は次の式で表すことができる。
$$
\omega=2\pi f [rad/s]
$$
瞬時値と最大値
磁界中でコイルを回転させると\(\ e=E_m sin(\omega t)\ \)で表される交流起電力が生じる。また、この時の\(\ e\ \)を瞬時値という。
\(\ sin(\omega t)\ \)は\(\ -1〜1\ \)の値をとるため、\(\ e\ \)の値は\(\ -E_m〜E_m\ \)を変動する。また、この\(\ E_m\ \)を最大値と呼ぶ。
実効値
交流電圧・電流波形が消費する電力と同じ電力を消費する直流電圧の値を実効値と呼ぶ。
また、実効値は\(\ E\ \)で表し、最大値\(\ E_m\ \)との関係は次のようになる。
$$
E=\frac{1}{\sqrt{2}}E_m [V]
$$
平均値
交流電圧波形の正の半周期を平均した値のこと。\(\ E_a\ \)で表し、正弦波の場合、最大値\(\ E_m\ \)との関係は次のようになる。
$$
E_a=\frac{2}{\pi}E_m [V]
$$
遅れ位相と進み位相
複数の交流波形を扱う場合、最大値、最小値などをとる時刻\(\ t\ \)が各波形ごとに異なり、位相差が存在する。
\(e_1\)について
\(\ e_1=E_msin(\omega t-\theta_1\ \)は\(\ e_0\ \)より\(\ \theta_1\ \)だけ位相が進んでいる。（位相差:\(\ \theta_1\ \)）
\(e_2\)について
\(\ e_2=E_msin(\omega t+\theta_2\ \)は\(\ e_0\ \)より\(\ \theta_2\ \)だけ位相が遅れている。（位相差:\(\ \theta_2\ \)）
正弦波とベクトル
\(\ v=V_msin(\omega t+\theta)\ \)の正弦波交流はベクトルに表すことができる。
$$
\vec{V}=V\angle\theta [V]
$$
ここで、\(\ V\ \)は実効値 \(\ \theta\ \)は位相角を意味している。これらを図で表すと次のようになる。
R,L,Cの単独回路に関する公式
Rの回路
実効値
$$
I=\frac{V}{R} [A]
$$
電流の位相
電圧と同位相の波形となる。
瞬時値
$$
i=\sqrt{2}Isin(\omega t) [A]
$$
Lの回路
誘導リアクタンス
$$
X_L=\omega L=2\pi fL [Ω]
$$
実効値
$$
I=\frac{V}{X_L}=\frac{V}{\omega L} [A]
$$
電流の位相
電圧より\(\frac{\pi}{2}[rad](=90^\circ)\)遅れる。
瞬時値
$$
i=\sqrt{2}Isin(\omega t-\frac{\pi}{2}) [A]
$$
Cの回路
誘導リアクタンス
$$
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC} [Ω]
$$
実効値
$$
I=\frac{V}{X_C}=\frac{V}{\frac{1}{\omega C}}=\omega CV [A]
$$
電流の位相
電圧より\(\frac{\pi}{2}[rad](=90^\circ)\)進む。
瞬時値
$$
i=\sqrt{2}Isin(\omega t+\frac{\pi}{2}) [A]
$$
R,L,Cの直列回路に関する公式
RLの直列回路
インピーダンス
$$
Z=\sqrt{R^2+{X_L}^2}=\sqrt{R^2+{(\omega L)}^2} [Ω]
$$
電流・電圧の関係
$$
V_R=RI [V] V_L=X_LI=\omega LI [V]
$$
$$
V=\sqrt{{V_R}^2+{V_L}^2}=ZI [V]
$$
位相角
$$
\theta=tan^{-1}\frac{X_L}{R}=tan^{-1}\frac{\omega L}{R} [^\circ]または[rad]
$$
RCの直列回路
インピーダンス
$$
Z=\sqrt{R^2+{X_C}^2}=\sqrt{R^2+{(\frac{1}{\omega C})}^2} [Ω]
$$
電流・電圧の関係
$$
V_R=RI [V] V_C=X_CI=(\frac{1}{\omega C})I [V]
$$
$$
V=\sqrt{{V_R}^2+{V_C}^2}=ZI [V]
$$
位相角
$$
\theta=tan^{-1}\frac{X_C}{R}=tan^{-1}\frac{1}{\omega CR} [^\circ]または[rad]
$$
RLCの直列回路
インピーダンス
$$
Z=\sqrt{R^2+{(X_L-X_C)}^2}=\sqrt{R^2+{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^2} [Ω]
$$
電流・電圧の関係
$$
V_R=RI [V] V_L=X_LI V_C=X_CI
$$
$$
V=\sqrt{{V_R}^2+{(V_L-V_C)}^2}=ZI [V]
$$
位相角
$$
\theta=tan^{-1}\frac{X_L-X_C}{R}=tan^{-1}\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R} [^\circ]または[rad]
$$
R,L,Cの並列回路に関する公式
RLの並列回路
アドミタンス
$$
Y=\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{X_L}^2}}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{(\omega L)}^2}} [S]
$$
電流・電圧の関係
$$
I_R=\frac{V}{R} [A] I_L=\frac{V}{X_L}=\frac{V}{\omega L} [A]
$$
$$
I=\sqrt{{I_R}^2+{I_L}^2}=YV [A]
$$
位相角
$$
\theta=tan^{-1}\frac{I_L}{I_R}=tan^{-1}\frac{R}{X_L}=tan^{-1}\frac{R}{\omega L} [^\circ]または[rad]
$$
RC並列回路
アドミタンス
$$
Y=\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{X_C}^2}}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+{(\omega C)}^2} [S]
$$
電流・電圧の関係
$$
I_R=\frac{V}{R} [A] I_C=\frac{V}{X_C}=\omega CV [A]
$$
$$
I=\sqrt{{I_R}^2+{I_C}^2}=YV [A]
$$
位相角
$$
\theta=tan^{-1}\frac{I_C}{I_R}=tan^{-1}\frac{R}{X_C}=tan^{-1}\omega CR [^\circ]または[rad]
$$
RLCの並列回路
アドミタンス
$$
Y=\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\left(\frac{1}{X_L}-\frac{1}{X_C}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\left(\frac{1}{\omega L}-\omega C\right)}^2} [S]
$$
電流・電圧の関係
$$
I_R=\frac{V}{R} [A] I_L=\frac{V}{X_L}=\frac{V}{\omega L} [A] I_C=\frac{V}{X_C}=\omega CV [A]
$$
$$
I=\sqrt{{V_R}^2+{(I_L-I_C)}^2}=YV [A]
$$
位相角
$$
\theta=tan^{-1}\frac{I_L-I_C}{I_R}=tan^{-1}\frac{\frac{1}{X_L}-\frac{1}{X_C}}{\frac{1}{R}}=tan^{-1}\frac{\frac{1}{\omega L}-\omega C}{\frac{1}{R}} [^\circ]または[rad]
$$
単相交流電力に関する公式
有効電力
$$
P=VI cos\theta=I^2R [W]
$$
無効電力
$$
Q=VI sin\theta=I^2X_L [var]
$$
皮相電力
$$
S=VI=I^2Z [VA]
$$
力率
$$
cos \theta=\frac{P}{S}=\frac{P}{VI}=\frac{R}{Z}
$$
無効率
$$
sin \theta=\frac{Q}{S}=\frac{Q}{VI}=\frac{X_L}{Z}
$$